Живые системы функционируют благодаря белковым полям, которые синтезируются в результате экспрессии генов и участвуют в генной регуляции. Детерминистское описание таких полей с помощью дифференциальных уравнений является недостаточным для понимания протекающих процессов, так как типичное число белковых молекул, вовлекаемых в регуляцию сравнительно мало. Это приводит к сильным флуктуациям полей, которые вызываются шумом химических реакций, а также межклеточным различиям [2]. Стандартным инструментом численного анализа флуктуаций белковых концентраций является алгоритм Гиллеспи [5].



В данной работе мы рассматриваем особый вид белковых полей, динамическое поведение которых не сводится к Марковским процессам. В последние годы стало ясно, что экспрессия генов, вообще говоря, состоит из многоэтапных реакций, в ходе которых последовательно образуются ансамбли сложных органических соединений. Таким образом, эти процессы распределены по пространству, растянуты по времени и зависят от всей предыстории. Стоит отметить, что немарковское поведение может быть как естественным следствием указанных выше процессов, так и быть искусственно введенным в генную регуляцию посредством генной инженерии.



В частном случае, когда немарковский процесс представляет собой фиксированное запаздывание, этим эффектом нельзя пренебречь, если время запаздывания одного порядка величины или больше по сравнению с другими характерными временами динамических процессов. В качестве модельной системы мы рассматриваем репрессилятор [4], который является типичным конструктом синтетической биологии. Плазмида репрессилятора включает гены lacI, λcI и tetR, которые имеют естественное происхождение, но в такой комбинации в природе не встречаются. Промотор каждого гена контролирует следующий за ним цистрон через отрицательную обратную связь, подавляя экспрессию соседа, что приводит к возбуждению колебаний. В модели репрессилятора было сделано несколько допущений, из которых можно выделить ключевые [3]. Во-первых, генная регуляция осуществляется только посредством димерной формы белка. Во-вторых, процессы транскрипции и трансляции протекают с некоторым запаздыванием. Для проведения численного анализа мы использовали модифицированную версия алгоритма Гиллеспи на случай немарковских процессов [2]. Отличие от классического варианта кроется в создании стека для реакций, которые должны произойти спустя заранее определенное время запаздывания.



Для исследования были выбраны две основные конфигурации репрессилятора. В первой конфигурации скорости производства белка всех участвующих генов различаются (несимметричная генная цепь). Разница между временем перехода к новому режиму как в детерминистском, так и стохастическом описаниях здесь является небольшим. Во второй конфигурации симметричной генной цепи скорости реакций и времена запаздывания экспрессии считаются одинаковыми. В рамках детерминистского описания были изучены надкритические динамические режимы работы системы. Кроме предельного цикла, соответствующего поочерёдной экспрессии, в системе обнаружено медленное многообразие. Оно отражает процесс длительной синхронизации в работе отдельных генов. При этом, нелинейная динамика, демонстрируемая в рамках модели запаздывающего репрессилятора, существенно отличается от варианта без запаздывания. При стохастическом описании флуктуации приводят к значительно более быстрому срыву с многообразия и переходу к поочередным циклам экспрессии генов. Переход к поочередным колебаниям концентраций белка в случае использования алгоритма Гиллеспи происходит примерно в одно время вне зависимости от симметричности конфигурации генов благодаря наличию шума в системе. Стохастическое описание даёт новую информацию о поведении системы, которая не сводится к детерминистской динамике даже при усреднении по большому числу реализаций. В подкритической области было обнаружено возбуждение квазирегулярных колебаний, вызываемых взаимодействием шума и запаздывания. Вблизи нейтральной кривой система демонстрирует процесс спонтанной деградации и возбуждения периодических колебаний. Но из-за того, что проявления деградации нерегулярны, каждый раз фаза восстановленных колебаний смещается случайным образом. В случае больших надкритичностей обнаружено, что шум способствует более эффективной самонастройке симметричного репрессилятора на совместную работу генов.



Пространственное моделирование белковых полей было произведено в рамках гибридной модели двумерной ткани эпителия, включающей детерминистское описание процесса диффузии и стохастику генной регуляции [1]. Обнаружено, что совместное действие запаздывания, шума и пространственного обмена сигналами между клетками может приводить к образованию паттернов даже в том случае, когда детерминистское описание предсказывает абсолютно устойчивое состояние.



Работа выполнена выполнены при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ (грант № FSNM-2020-0026).



Список литературы

1. Bratsun D. Protein pattern formation induced by the joint effect of noise and delay in a multicellular system // Math. Model. Nat. Phenom. 2022. Vol. 17. Art. 16.

2. Bratsun D., Volfson D., Hasty J., Tsimring L. Delay-induced stochastic oscillations in gene regulation // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. – 2005. – Vol. 102, No. 41. – P. 14593-14598.

3. Bratsun D.A., Buzmakov M.D. Repressilator with time-delayed gene expression. Part II. Stochastic description // Computer Research and Modeling, 2021, vol. 13, no. 3, P. 587-609

4. Elowitz M.B., Leibler S. A synthetic oscillatory network of transcriptional regulators // Nature Vol. 403, 2000. P. 335-338.

5. Gillespie D.T. Exact stochastic simulation of coupled chemical reactions // J. Phys. Chem. 1977. Vol. 81. P. 2340-2361.

Protein fields, which are synthesized because of gene expression and are involved in gene regulation, are the most important part of the functionality of living systems. As is known, a deterministic description of such fields based on differential equations should be supplemented by the stochastic approach to understand the ongoing processes in all details. The typical number of protein molecules involved in the regulation is relatively small. It leads to strong field fluctuations, which are caused by the noise of chemical reactions, as well as intercellular differences [2]. The standard tool for numerical analysis of protein concentration fluctuations is the Gillespie algorithm [5].



In this paper, we consider a specific class of protein fields whose dynamic behavior cannot be reduced to Markov processes. In recent years, it has become clear that gene expression includes of multi-stage reactions during which ensembles of complex organic compounds are successively formed. Thus, these processes are distributed over space, extended over time and depend on the entire prehistory. It should be noted that non-Markovian behavior can be a natural consequence of the processes mentioned above, or it can be artificially introduced into gene regulation through genetic engineering methods.



If the non-Markovian process is a fixed delay, we cannot neglect this effect if the delay time is of the same order of magnitude or greater compared to other characteristic times of dynamic processes. As a model system, we consider a repressilator [4], which is a typical product of synthetic biology. The repressilator plasmid includes the lacI, λcI, and tetR genes, which are naturally occurring but do not occur in such a combination in nature. The promoter of each gene controls the cistron following it through negative feedback, suppressing the expression of its neighbor, which leads to the excitation of oscillations. We have made several assumptions in the repressilator model, from which we highlight the following ones [3]. We supposed that gene regulation is carried out only through the dimeric form of the protein. In addition, the processes of transcription and translation proceed with some delay. In the numerical simulations, we used a version of the Gillespie algorithm generalized for the case of non-Markov processes [2]. The difference from the classical version is a stack for reactions that should occur after a predetermined delay time.



We considered two main repressilator configurations. In the first case, the protein production rates of all genes involved in the dynamics are different (asymmetric gene circuit). It was found that the difference between the transition times to the new regime in both the deterministic and stochastic descriptions is small here. In the second case, we considered a symmetrical gene circuit, in which reaction rates and expression delay times are the same. When studying the behavior of a repressilator, we show that a stochastic description provides new information about the behavior of a system, which does not reduce to deterministic dynamics even when averaged over sufficient realizations. We show that in the subcritical range of parameters, where deterministic analysis predicts the absolute stability of the system, quasi-regular oscillations may be excited because of the nonlinear interaction of noise and delay. We have discovered within the framework of the deterministic description that there is a long-lived transient regime, which is represented in the phase space by a slow manifold. This mode reflects the process of long-term synchronization of protein pulsations in the work of the repressilator genes. In this work, we show that the transition to the cooperative mode of gene operation occurs a two order of magnitude faster, when the effect of the intrinsic noise is considered. We calculate the probability distribution of the moment when the phase trajectory leaves the slow manifold and have determined the most probable time for such a transition.



Spatial modeling of protein fields was performed within the framework of a hybrid model of two-dimensional epithelial tissue, including a deterministic description of the diffusion process and stochastic of gene regulation [1]. It has been found that the combined action of delay, noise, and spatial signaling between cells can lead to the formation of patterns even when the deterministic description predicts an absolutely steady state.



The work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (grant no. FSNM-2020-0026).



References

1. Bratsun D. Protein pattern formation induced by the joint effect of noise and delay in a multicellular system // Math. Model. Nat. Phenom. 2022. Vol. 17. Art. 16.

2. Bratsun D., Volfson D., Hasty J., Tsimring L. Delay-induced stochastic oscillations in gene regulation // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. – 2005. – Vol. 102, No. 41. – P. 14593-14598.

3. Bratsun D.A., Buzmakov M.D. Repressilator with time-delayed gene expression. Part II. Stochastic description // Computer Research and Modeling, 2021, vol. 13, no. 3, P. 587-609

4. Elowitz M.B., Leibler S. A synthetic oscillatory network of transcriptional regulators // Nature Vol. 403, 2000. P. 335-338.

5. Gillespie D.T. Exact stochastic simulation of coupled chemical reactions // J. Phys. Chem. 1977. Vol. 81. P. 2340-2361.