Вопрос возникновения и эволюции основной частоты колебаний нейронов головного мозга при различных нормальных и патологических состояниях является актуальной задачей современной науки. Для изучения и моделирования эпилепсии очень важно математическое описание синхронизации [1], поскольку для эпилепсии характерны высокосинхронные паттерны активности [2]. В данной работе предлагается концепция, которая состоит в том, что основная частота не является результатом активности отдельной клетки, а формируется за счет коллективной динамики в кольце модельных нейронов, связанных с запаздыванием.



Для подтверждения данной гипотезы использовалась тестовая система, состоящая из кольца нейронов Ходжкина-Хаксли [3] (данная модель, описывающая распространение потенциалов действия в нейронах считается одной из эталонных), связанных однонаправленной связью с запаздыванием. При этом параметры нейронов считались одинаковыми и выбирались в соответствии с [4] так, чтобы они демонстрировали динамику кортикальных-пирамидальных нейронов. Параметры нейронов изменились таким образом, чтобы в режиме покоя колебаний не возникало. Динамический же режим достигался при помощи стартующего нейрона, который на протяжении 30 мс воздействовал на один из нейронов кольца. После чего в системе возбуждался колебательный процесс, основная частота которого оценивалась. Количество нейронов в кольце варьировалось от 10 до 100, время задержки в запаздывающей связи от 0.2 мс до 1 мс. Коэффициенты связи между нейронами считались одинаковыми и рассматривалось 4 значения (30, 40, 50, 60).



В результате численного эксперимента было показано, что предложенная схема может генерировать колебательную активность с частотами, близкими к экспериментально наблюдаемым. Изменяя количество нейронов в кольце, время запаздывания в связи, а также коэффициент связи можно управлять основной частотой сигнала в нейронах. При этом эффект от увеличения числа нейронов в кольце оказывает большее влияние на частоту сигнала. А увеличение значения коэффициента связи позволяет получить более высокие частоты. Дополнительно была предложена эмпирическая формула для оценки периода колебаний в зависимости от количества нейронов и времени задержки в связи. На её основе была проведена реконструкция зависимости, которая показала достаточную точность в сравнении с данными численного эксперимента.



Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект №19-72-10030-П, https://rscf.ru/project/19-72-10030/



Список литературы.



1. Jefferys, J.G.; Jiruska, P.; de Curtis, M.; Avoli, M. Limbic network synchronization and temporal lobe epilepsy. Jasper’s Basic Mechanisms of the Epilepsies [Internet]. 4th edition 2012.



2. Avoli, M.; D’Antuono, M.; Louvel, J.; Köhling, R.; Biagini, G.; Pumain, R.; D’Arcangelo, G.; Tancredi, V. Network and pharmacological mechanisms leading to epileptiform synchronization in the limbic system in vitro. Progress in Neurobiology 2002, 68, 167 – 207. https://doi.org/10.1016/S0301-0082(02)00077-1.



3. Hodgkin, A.; Huxley, A. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. J. Physiol. 1952, 117, 500–544. https://doi.org/10.1113/jphysiol.1952.sp004764



4. Talukdar, S.; Shrivastava, R.; Ghosh, S. Modeling activity-dependent reduction in after hyper-polarization with Hodgkin-Huxley equation of action potential. Biomedical Physics & Engineering Express 2019, 5, 047001. https://doi.org/10.1088/2057-1976/ab1a1d

The question of the origin and evolution of the main oscillation frequency of brain neurons in various normal and pathological conditions is an urgent task of modern science. For the study and modeling of epilepsy, the mathematical description of synchronization is very important [1], since epilepsy is characterized by highly synchronous activity patterns [2]. In this paper, we propose the concept that the main frequency is not the result of the activity of a single cell, but is formed due to the collective dynamics in the ring of model neurons associated with delay.



To confirm this hypothesis, a test system was used, consisting of a ring of Hodgkin-Huxley neurons [3] (this model, which describes the propagation of action potentials in neurons, is considered one of the reference ones), unidirectionaly connected with a delay. In this case, the parameters of neurons were considered the same and were chosen in accordance with [4] so that they demonstrated the dynamics of cortical-pyramidal neurons. The parameters of the neurons have changed in such a way that no oscillations occur in the rest mode. The dynamic mode was achieved with the help of a starting neuron, which acted on one of the ring neurons for 30 ms. After that, an oscillations was excited in the system, the main frequency of which was estimated. The number of neurons in the ring varied from 10 to 100; the delay time in the coupling was from 0.2 ms to 1 ms. The coupling coefficients between neurons were considered as equal and 4 values were considered (30, 40, 50, 60).



As a result of a numerical experiment, it was shown that the proposed scheme can generate oscillations with frequencies close to those observed experimentally. By changing the number of neurons in the ring, the delay time in the coupling, and the coupling coefficient, one can control the main frequency of the signal in neurons. At the same time, the effect of increasing the number of neurons in the ring has a greater effect on the signal frequency. And increasing the value of the coupling coefficient allows to get higher frequencies. Additionally, an empirical formula was proposed for estimating the period of oscillations depending on the number of neurons and the delay time in connection. On its basis, the dependence was reconstructed, which showed sufficient accuracy in comparison with the data of a numerical experiment.



This research was funded by Russian Science Foundation, grant number 19-72-10030-P,

https://rscf.ru/project/19-72-10030/



Bibliography.

1. Jefferys, J.G.; Jiruska, P.; de Curtis, M.; Avoli, M. Limbic network synchronization and temporal lobe epilepsy. Jasper’s Basic Mechanisms of the Epilepsies [Internet]. 4th edition 2012.



2. Avoli, M.; D’Antuono, M.; Louvel, J.; Köhling, R.; Biagini, G.; Pumain, R.; D’Arcangelo, G.; Tancredi, V. Network and pharmacological mechanisms leading to epileptiform synchronization in the limbic system in vitro. Progress in Neurobiology 2002, 68, 167 – 207. https://doi.org/10.1016/S0301-0082(02)00077-1.



3. Hodgkin, A.; Huxley, A. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. J. Physiol. 1952, 117, 500–544. https://doi.org/10.1113/jphysiol.1952.sp004764



4. Talukdar, S.; Shrivastava, R.; Ghosh, S. Modeling activity-dependent reduction in after hyper-polarization with Hodgkin-Huxley equation of action potential. Biomedical Physics & Engineering Express 2019, 5, 047001. https://doi.org/10.1088/2057-1976/ab1a1d