В работе предлагается моделирование циклических процессов реального макромира системой линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Такая модель может быть переведена из любого начального состояния в заданное конечное состояние за заданное число шагов. Получены условия существования циклического решения на плоскости или в пространстве любой размерности. Для циклического процесса системы уравнений переключаются при достижении интегральными кривыми границ на фазовой плоскости (пространстве). Проведен анализ скорости сходимости таких циклических решений.

Модель в виде авторегрессий связана с экспериментальными данными – временными рядами и аппроксимирует их по критерию минимизации среднеквадратичного отклонения. Модель позволяет решать задачи достижения заданного значения показателя (биологического, фармакологического и др.) к заданному моменту. Для моделирования биологических систем большое количество методов описано у Ризниченко Г.Ю. [2]. Указанные исследования служат, однако, для качественного описания систем и не предназначены для связи моделей с какими-либо экспериментальными данными.

Мы рассматриваем модели динамических, в частности циклических процессов, в виде двух (или большего числа) систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, интегральные кривые систем состыковываются по непрерывности. Переключение с одной системы уравнений на другую происходит при достижении интегральными кривыми пороговых значений – границ на фазовой плоскости. Предлагаемые нами модели используют экспериментальные данные, представленные временными рядами, аппроксимация данных осуществляется функциями-решениями систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, причем выполняется критерий минимизации среднеквадратичного отклонения.

Такой выбор аппроксимирующих функций представляется наиболее соответствующим физической сути многих реальных динамических процессов макромира, поскольку даже процессы релаксационного типа имеют описание фронтов в виде быстро затухающих экспонент. Для процессов накопления или расходования некоторых взаимосвязанных ресурсов, при которых скорость накопления (расходования) пропорциональна наличествующей массе ресурсов, такое описание вытекает из самих понятий массы и скорости накопления. Такой характер имеют процессы роста популяций организмов в условиях достаточной кормовой базы и отсутствия врагов [3], выведения лекарственных препаратов из организма [4], а также такие физиологические процессы, как реакция зрачка на световой импульс [5] и “натрий-калиевый насос” на клеточных мембранах [6].

Использование отдельных звеньев (уравнений) в нашей модели апеллирует к принципу управления по “узкому месту”, суть которого заключается в том, что величина тех ресурсов, которые накопились в избытке, никак уже не влияет на протекание процесса, соответствующего “узкому месту”. Примерами таких систем являются в частности: биологические ферментативные процессы [3], [4], работа сердца (стадия QRS-комплекса и стадия изменения концентраций ионов): электрическая активность миокарда на интервале времени, соответствующем QRS-комплексу, не зависит от процессов изменения концентраций ионов калия или кальция и, напротив, по завершении QRS-комплекса процессы изменений концентраций ионов не зависят от практически постоянного состояния (называемого изолинией) электрической активности клеток миокарда.

Мы представляем модели в виде решений линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами, предполагая, что такая модель применяется к процессам, для которых она физически логична в силу характера самого исследуемого материала. Кроме того, предлагаемые модели могут представлять интерес только в случаях, когда в качестве исследуемого материала имеются экспериментально полученные временные ряды. Предложенное описание динамических, в частности циклических, процессов моделью в виде кусочно-линейных разностных уравнений представлено в виде двух (или большего числа) систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами; интегральные кривые систем состыковываются по непрерывности. Переключение с одной системы уравнений на другую происходит при достижении интегральными кривыми пороговых значений – границ на фазовой плоскости.

Увеличение размерности фазового пространства не вызывает появления принципиальных трудностей как со стороны условия существования цикла, так и со стороны алгоритма аппроксимации экспериментальных данных [1]. Данная модель может быть полезна для описания многих биологических, химических явлений, циклически или однократно протекающих во времени. В результате применения данного подхода экспериментальные данные оказываются аппроксимированными кривыми, являющимися решениями линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами (наборами действительных или комплексно-сопряженных экспонент, а также знакопеременными кривыми).

Список литературы

1. Smirnov V.Yu., Kuznetcova A.V. Approximation of Experimental Data by Solving Linear Differential Equations with Constant Coefficients (in Particular, by Exponentials and Exponential Cosines). Pattern Recognition and Image Analysis, 2017, Vol. 27, No. 2, pp. 175–183.

2. Ризниченко Г.Ю. Лекции по математическим моделям в биологии (изд. 2-е, испр. и дополн.) - М-Ижевск: НИЦ <<Регулярная и хаотическая динамика>>, 2011.

3. Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф. Резниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов – М.: МГУ, 1987, стр. 64.

4. Каркищенко Н.Н., Хоронько В.В., Сергеева С.А., Каркищенко В.Н., Фармакокинетика, Ростов-на-Дону, "Феникс", 2001, стр. 163, 168.

5. Alpern M., Ohba N. The effect of bleaching and backgrounds on pupil size.

UsionR es.Vol.1 2, p p.943-951. Pergamon Press 1972. Great Britain.

6. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve, J. Physiol, I952, p.513.

The paper proposes modeling of cyclic processes of the real macrocosm by a system of linear difference equations with constant coefficients. Such a model can be transferred from any initial state to a given final state in a given number of steps. The conditions for the existence of a cyclic solution on a plane or in a space of any dimension are obtained. For a cyclic process, the systems of equations switch when the integral curves reach the boundaries on the phase plane (space). The convergence rate of such cyclic solutions is analyzed.

The model in the form of autoregressions is associated with experimental data – time series and approximates them by the criterion of minimizing the standard deviation. The model allows us to solve the problems of achieving a given value of the indicator (biological, pharmacological, etc.) by a given moment. For modeling biological systems, a large number of methods are described in Riznichenko G.Yu. [2]. These studies serve, however, for a qualitative description of systems and are not intended to link models with any experimental data.

We consider models of dynamic, in particular cyclic processes, in the form of two (or more) systems of linear difference equations with constant coefficients, the integral curves of the systems are connected in continuity. Switching from one system of equations to another occurs when the integral curves reach threshold values – boundaries on the phase plane. The models we propose use experimental data presented by time series, the approximation of the data is carried out by functions-solutions of systems of linear difference equations with constant coefficients, and the criterion of minimizing the standard deviation is fulfilled.

Such a choice of approximating functions seems to be the most appropriate to the physical essence of many real dynamic processes of the macrocosm, since even relaxation-type processes have a description of fronts in the form of rapidly decaying exponentials. For the processes of accumulation or expenditure of some interrelated resources, in which the rate of accumulation (expenditure) is proportional to the available mass of resources, such a description follows from the very concepts of mass and accumulation rate. This is the nature of the processes of growth of populations of organisms in conditions of sufficient food supply and the absence of enemies [3], the excretion of drugs from the body [4], as well as such physiological processes as the reaction of the pupil to a light pulse [5] and the “sodium-potassium pump” on cell membranes [6].

The use of separate links (equations) in our model appeals to the “bottleneck” control principle, the essence of which is that the amount of those resources that have accumulated in excess does not affect the flow of the process corresponding to the “bottleneck" in any way. Examples of such systems are, in particular: biological enzymatic processes [3], [4], the work of the heart (the stage of the QRS complex and the stage of changes in ion concentrations): the electrical activity of the myocardium at the time interval corresponding to the QRS complex does not depend on the processes of changes in the concentrations of potassium or calcium ions and, on the contrary, upon completion The processes of changes in ion concentrations of the QRS complex do not depend on an almost constant state (called isolation) of the electrical activity of myocardial cells.

We present models in the form of solutions of linear difference equations with constant coefficients, assuming that such a model is applied to processes for which it is physically logical due to the nature of the material under study. In addition, the proposed models may be of interest only in cases where experimentally obtained time series are available as the material under study. The proposed description of dynamic, in particular cyclic, processes by the model in the form of piecewise linear difference equations is presented in the form of two (or more) systems of linear difference equations with constant coefficients; the integral curves of the systems are connected in continuity. Switching from one system of equations to another occurs when the integral curves reach threshold values – boundaries on the phase plane.

The increase in the dimension of the phase space does not cause the appearance of fundamental difficulties both from the side of the cycle existence condition and from the side of the experimental data approximation algorithm [1]. This model can be useful for describing many biological, chemical phenomena that occur cyclically or once in time. As a result of applying this approach, experimental data turn out to be approximated curves that are solutions of linear difference equations with constant coefficients (sets of real or complex-conjugate exponentials, as well as alternating curves).



References

1. Smirnov V.Yu., Kuznetcova A.V. Approximation of Experimental Data by Solving Linear Differential Equations with Constant Coefficients (in Particular, by Exponentials and Exponential Cosines). Pattern Recognition and Image Analysis, 2017, Vol. 27, No. 2, pp. 175–183.