Предлагаемая работа посвящена теоретическому анализу механизма пространственного распределения и регулирования потока крови в тканях, т.е. механизма перфузии (промывания) тканей кровью.

В начале прошлого 20-го века Крог (Krough) ввел в научный оборот представление о том, что управление поступлением кровотока в капилляры мышц происходит за счет открытия/закрытия просвета артериол, обладающих мышечной стенкой. Впоследствии это представление было распространено и на другие органы. Именно такое представление использовано нами как основное для построения перколяционной модели регулировании кровотока.

Мы будем исходить из того, что кровь попадает в капилляры тканей по древообразной системе ветвящихся сосудов начиная от аорты. На некотором уровня ветвления она попадает в артериолы с активной гладкомышечной стенкой, сокращения которой и меняют просвет сосуда. На самых тонких веточка этого дерева – терминальных артериолах находятся капиллярные ячейки, содержащие несколько параллельных капилляров. Одновременно эти ячейки принадлежат самым тонким веточкам венозного дерева – венулам. Таким образом, большой круг кровообращения можно представить как два сросшиеся «кронами» дерева - артериальное и венозное.

В модели мы рассмотрим только его артериальную часть и будем отождествлять артериальное дерево с дихотомически ветвящимся графом. В качестве основного элемента древообразной сети будем рассматривать тройник сосудов, состоящий из предка и двух его потомков. Таким образом, каждый сосуд A входит в состав двух тройников – в один как предок, а в другой как потомок.

Состояние некоего сосуда A в дискретный момент времени t будем описывать логической переменной X(A,t), имеющей в дискретный момент времени t значение «истина», если сосуд открыт и «ложь», если сосуд открыт.

Введем естественные условия неразрывности потока в сети: если сосуд А открыт, то и его предок А0 тоже открыт. Иначе потоку в сосуде А неоткуда взяться.

Активные вазомоции будем описывать случайными логическими переменными. Положительная активность m(A,t) означает открытие сосуда А в момент времени (t+1), т.е. истинность X(A,t+1). Отрицательная активность n(A,t) означает закрытие сосуда A в момент времени (t+1). Переменные m(A,t) и n(A,t) описывают взаимодействие сосудов между собой, но мы ограничим его предположением, что каждый сосуд А взаимодействует лишь со своим предком A0 и двумя потомками A1 и A2. Тогда поведение сети активных сосудов описывается следующими рекуррентными логическими уравнениями:

X(A,t+1) = [X(A,t) * (1 - n(A,t)] + [m(A,t)* (1 - X(A,t) * X(A0,t)] + [ X(A1,t + X(A2,t)] (1)

Если предположить, что состояние сосудов в сети меняется только из-за собственной активности, а взаимодействие с предком и потомками сводится к соблюдению условия неразрывности, то стационарным решением системы уравнений (1) является либо полностью открытая сеть, либо набор конечных по размеру поддеревьев сети, т.е. ситуации, когда сквозного кровотока нет. Из этого следует, что для регулирования кровотока необходимо более сложное взаимодействие сосудов.

Стационарные состояния при более сложном взаимодействии будем рассматривать путем введения условных вероятностей того, что при открытом сосуде A с вероятностью П11 открыты оба его потомка, с вероятностью П10 - открыт потомок A1, с вероятностью П01 открыт потомок А2, с вероятностью П22, что оба потомка закрыты. Сумма вероятностей П11+П12+П21+П22 = 1.

Рассмотрим последовательность случайных чисел Nk, каждое из которых обозначает число открытых сосудов в k-том поколении ветвления сети. Она образует ветвящийся процесс. Анализ его производящей функции, показывает, что если П22/П11 > 1, то сквозное протекание в сети невозможно. Если же П22/П11 < 1, то вероятность P сквозного протекания, т.е. образование бесконечных кластеров равна P = 1 - П22/П11 = (П11 – П22) / П11. Так как среднее число М ближайших открытых потомков открытого сосуда равно М = 1*П12 + 1*П21 + 2*П11, то P = (М – 1)/ П11. Т.е. протекание возникает при М > 1, когда среднее число открытых потомков сосуда больше 1. Образуется смесь конечных и бесконечных кластеров. Это означает, что перфузия тканей может возникать при не полностью открытой сосудистой сети. Это соответствует тому известному факту, что объем циркулирующей крови меньше суммарного объема сосудов сети.

Если предположить, что каждый из сосудов сети проявляет свою активность независимо от других и открыт с вероятностью П, то вероятность протекания Р = (2П-1)/П*П. При этом протекание возникает при П > 1/2. Это соответствует выводам перколяционной теории для древообразных графов. В них порог протекания достигается при П = 1/К, где К – кратность ветвления графа.

Зависимость вероятности протекания Р от превышения П над порогом весьма сильная. Превышение П над порогом на 10%, увеличивает вероятность протекания Р от 0 до 0,56. Это и означает эффективность регулирование кровотока за счет изменения его структуры. В частности, это может быть объяснением того факта, что увеличение минутного объема кровообращения в 3 – 5 раз при увеличении систолического давления всего на 30 – 40 %.

Дополнительная возможность регулирования кровотока может быть обеспечена коллатералями, которые могли бы соединять конечные кластеры. В них среднее число открытых сосудов равно S = 1/ (П22 – П11), а среднее число тех из них, у которых нет открытых потомков, Г = П22 / (П22 – П11). Его можно рассматривать как количественную меру границы конечного кластера или как кратность ветвления исходного сосуда. Тогда при концентрации коллатералей С= (П22 – П11)/П22 достигается порог протекания в системе этих кластеров.

Авторы благодарны А.К. Лабуцкому и И.А. Шерешевскому за плодотворные обсуждения.

Работа профинансирована Министерством науки и высшего образования РФ в рамках государственного задания ИПФ РАН, проект № FFUF-2021-0014

The proposed work is dedicated to the theoretical analysis of the mechanism of spatial distribution and regulation of blood flow in tissues, i.e., the mechanism of tissue perfusion with blood.

At the beginning of the last 20th century, Krough introduced the concept that the control of blood flow into the capillaries of muscles occurs through the opening/closing of the lumen of arteries possessing a muscular wall. Later, this concept was extended to other organs. It is precisely this concept that we have used as the main one for building a percolation model of blood flow regulation.

We will start from the fact that blood enters the tissue capillaries through a branching system of vessels starting from the aorta. At some level of branching, it enters arterioles with an active smooth muscle wall, whose contraction changes the diameter of the vessel. At the finest branches of this tree - the terminal arterioles - are capillary cells containing several parallel capillaries. At the same time, these cells belong to the finest branches of the venous tree - venules. In this way, the large circle of blood circulation can be seen as two merged "crowns" of a tree - the arterial and venous.

In the model, we will only consider its arterial part and identify the arterial tree with a dichotomously branching graph. The triad of vessels consisting of a parent and two descendants will be considered the main element of the tree-like network. Thus, each vessel A is a part of two triads - one as a parent, the other as a descendant.

The state of a vessel A at a discrete moment in time t will be described by a logical variable X(A,t), which has a value of "true" at a discrete moment in time t if the vessel is open and "false" if the vessel is closed.

We will introduce the natural conditions of flow continuity in the network: if vessel A is open, then its predecessor A0 is also open. Otherwise, there is nowhere for the flow in vessel A to come from.

Active vasomotions will be described by random logical variables. Positive activity m(A,t) means opening of vessel A at time (t+1), i.e. the truth of X(A,t+1). Negative activity n(A,t) means closing of vessel A at time (t+1). The variables m(A,t) and n(A,t) describe the interaction of vessels with each other, but we will limit this assumption by assuming that each vessel A interacts only with its predecessor A0 and two descendants A1 and A2. Then the behavior of the network of active vessels is described by the following recurrent logical equations:

X(A,t+1) = [X(A,t) * (1 - n(A,t)] + [m(A,t)* (1 - X(A,t) * X(A0,t)] + [ X(A1,t + X(A2,t)] (1)

If X(A,t) changes only due to its own activity and the interaction with A0, A1 and А2 is reduced to compliance with the continuity condition, then the stationary solution of the system of equations (1) is a fully open network or a set of size-finite sub-trees, i.e. the absence of a through flow. It follows that for regulation of blood flow, a more complex interaction between vessels is required.

Stationary states with more complex interactions will be considered by introducing conditional probabilities that with an open vessel A, both of its descendants are open with probability P11, descendant A1 is open with probability П10, descendant A2 is open with probability П01, and both descendants are closed with probability П22. The sum of probabilities П11 + П12 + П21 + П22 = 1.

Let's consider the sequence of random numbers Nk, each of which represents the number of open vessels in the k-th generation of branching network. It forms a branching process. The analysis of its generating function shows that if П22/П11 > 1, then the flow through the network is impossible. If П22/П11 < 1, then the probability P of flow through the network, i.e. the formation of infinite clusters, is equal to P = 1 - П22/П11 = (П11 - П22) / П11. Since the average number M of nearest open descendants of an open vessel is equal to M = 1 * П12 + 1 * П21 + 2 * P11, then P = (M - 1) / П11. That is, flow occurs when M > 1, when the average number of open descendants of a vessel is greater than 1. A mixture of finite and infinite clusters is formed. This means that tissue perfusion can occur with a partially open vessel network. This corresponds to the well-known fact that the volume of circulating blood is less than the total volume of the network vessels.

If it is assumed that each vessel in the network exhibits its activity independently of the others and is open with probability П, then the probability of flow P= (2П-1)/П*П. The flow occurs when П > 1/2. This corresponds to the conclusions of percolation theory for tree-like graphs. In these, the flow threshold is reached when П = 1/K, where K is the branching multiplicity of the graph.

The dependence of the probability of flow P on the excess of П over the threshold is very strong. An excess of П over the threshold by 10% increases the probability of flow P from 0 to 0.56. This is what signifies the efficiency of blood flow regulation through changes in its structure. In particular, this may explain the fact that an increase in the minute blood flow volume by 3-5 times with an increase in systolic pressure by only 30-40%.

Additional regulation of blood flow can be provided by collaterals, which could connect terminal clusters. In them, the average number of open vessels is equal to Н = 1 / (П22 - П11), and the average number of those without open descendants, Г = П22 / (П22 - П11). It can be considered as a quantitative measure of the boundary of the terminal cluster or as a branching multiplicity of the original vessel. Then, with a concentration of collaterals C = (П22 - П11) / П22, the threshold of flow in the system of these clusters is reached.

The authors are grateful to A.K. Labutsky and I.A. Shereshevsky for productive discussions.

The study has been supported in the frames of the Governmental Project of the Institute of Applied Physics RAS (Project#FFUF-2021-0014)

The text translated using openai.com