В последнее время для описания различных явлений в физике, механике, экономике, науках о природе все большее распространение получают математические модели, содержащие дробные производные. Дробно-дифференциальные уравнения дают более адекватное и точное описание многих процессов, чем классические уравнения с целыми производными. Они успешно применяются в математической биологии, гидрогеологии при моделировании процессов тепло- и массопереноса в сильно неоднородных средах, задачах упруго-пластичности, в эпидемиологии и др.



Одним из таких приложений является использование моделей с дробными производными для описания гемодинамических процессов. Интерес к дробным производным со стороны специалистов гемодинамики обусловлен, с одной стороны, возможностью моделировать сложные течения с вязко-упругостью, анизотропной вязкостью, эффектами памяти т.д., а с другой – возможностью более реалистичного воспроизведения форм пульсовых волн. Последняя задача становится особенно актуальной в последние годы с развитием вычислительной техники и возрастающего интереса к обратным задачам.



В данной работе предлагается использовать модель одномерной гемодинамики для описания течения крови в аорте и коронарных артериях. Каждый сосуд представляет собой одномерную эластичную трубку, по которой течёт вязкая несжимаемая жидкость. В точках ветвлений сосудов перераспределение потоков рассчитывается с помощью закона сохранения массы и непрерывности полного давления. Построенная сеть сосудов требует задания граничных условий на входе (около сердца) и на выходах (области микроциркуляции). На входе задаётся зависимость потока от времени, соответствующая сердечному выбросу среднестатистического человека. На выходах задаётся перепад давлений через гидродинамические сопротивления.



Дробные производные используются для модификации граничных условий на конце аорты и описания растяжимости микроциркуляторного русла. Рассмотрены различные значения показателя дробной производной Капуто. Величина показателя влияет на форму пульсовой волны давления в аорте и, как следствие, в коронарных артериях.



Форма пульсовой волны может оказывать влияние на индексы, используемые для оценки гемодинамической значимости стенозов коронарных артерий, например на iFR (индекс свободной волны). iFR вычисляется как отношение давлений после и до стеноза в период расслабления желудочков сердца. Значения iFR используются в диагностике для принятия решения о хирургическом вмешательстве.



Дробные производные могут использоваться для персонализации модели кровотока путём подбора показателя и воспроизведения формы пульсовой волны пациента. Подобная персонификация модели важна при точной оценке различных гемодинамических индексов, влияющих на выбор стратегии лечения пациента.

Recently, mathematical models with fractional derivatives were used to describe various phenomena in physics, mechanics, economics, and the natural sciences. Fractional differential equations provide more adequate and accurate description of many processes than classical equations with integer derivatives. They are successfully used in mathematical biology, hydrogeology in modeling heat and mass transfer processes in highly non-homogeneous media, problems of elasticity, epidemiology, etc.



One of such applications is the use of fractional derivative models to describe hemodynamic processes. Fractional derivatives allow hemodynamic specialists to simulate complex flows with visco-elasticity, anisotropic viscosity, memory effects, etc., and to create more realistic pulse wave forms. The latter task has become especially relevant in recent years with the development of computer technology and increasing interest in inverse problems.



In this paper, we propose to use a model of one-dimensional hemodynamics to describe the blood flow in the aorta and coronary arteries. Each vessel is a one-dimensional elastic tube with a viscous incompressible liquid. Bifurcation points require calclation of the redistribution of blood flows. It is calculated with the help of law of conservation of mass and continuity of total pressure. The constructed network of vessels requires imposing boundary conditions at the inlet (near the heart) and at the outlets (microcirculation areas). At the inlet, the flow is imposed. This flow corresponds to the cardiac output of the average person. The pressure drop through the hydrodynamic resistances is set at the outlets.



Fractional derivatives are used to modify the boundary conditions at the outlet of the aorta and describe the distensibility of the microcirculatory bed. Various values of the Caputo fractional derivative index are considered. The value of the index affects the shape of the pressure pulse wave in the aorta and, as a consequence, in the coronary arteries.



The shape of the pulse wave can influence the indices used to assess the hemodynamic significance of coronary artery stenoses, for example, the iFR (wave free ratio). iFR is calculated as the ratio of pressures after and before stenosis during the relaxation of the ventricles of the heart. iFR values are used in diagnostics to make a decision about surgical intervention.



Fractional derivatives can be used to personalize the blood flow model by selecting a Caputo index and reproducing the pulse wave shape of the patient. Such a personification of the model is important in the accurate assessment of various hemodynamic indices that affect the choice of a patient's treatment strategy.