Эпилепсия — сетевое явление, вызванное в первую очередь патологическими изменениями в организации нейронных сетей мозга, часто в очень малых подсетях [1]. Абсансная эпилепсия — это мягкая форма, приступы которой сопровождаются кратковременною потерею сознания и на электроэнцефалограмме выражены как пик-волновые разряды. Поскольку для понимания её механизмов необходимо измерение активности глубоких структур мозга, основные результаты получены на крысах — генетических моделях [2]. Поскольку абсансы заканчиваются внезапно и обнаружить какой-либо специфический механизм окончания не удалось [3], одним из основных способов их моделирования является представление пик-волновых разрядов как длинных переходных процессов [4]. Так как эффекты генерации пик-волновых разрядов рассматриваются в первую очередь как сетевые, в качестве моделей для отдельных нейронов и их групп брались самые простые из известных — чаще всего модель ФитцХью-Нагумо. Однако если наблюдаемые в [4] эффекты действительно сетевые, они должны повторяться при использовании различных уравнений для отдельного элемента сети.



В данной работе мы рассматриваем небольшие сетевые модели эпилептического фокуса, состоящие из 14 нейронов. Для узлов используются три популярные модели: Ходжкина-Хаксли, Моррис-Лекара и ФитцХью-Нагумо [5]. Всего рассмотрено 88 моделей, отличающихся деталями архитектуры связей, построенных на базе исходной модели [6]. Рассматриваются как линейные связи, так и более физиологически обоснованные — через гиперболический тангенс. Для каждой модели для каждого типа узла проведён бифункационный анализ по параметру связи. Для значительного числа моделей удалось обнаружить седлоузловую бифуркацию предельного цикла, при которой происходит рождение предельного цикла конечного размера, сосуществующего с состоянием равновесия. На пороге рождения такого цикла существуют длинные квазирегулярные переходные процессы. Они могут быть вызваны кратковременным внешним воздействием, как было показано в [4,6], например, из тройничного нерва. Такие переходные процессы и рассматриваются нами далее как модели пик-волновых разрядов.



Для каждой модели был произведён анализ зависимости длительности переходного процесса от фазы воздействия. Были отобраны матрицы связей, модели с использованием которых демонстрируют самые длинные переходные процессы. Оказалось, что существуют несколько матриц связи, при использовании которых генерация длинных переходных процессов происходит для всех трёх использованных моделей нейронов. При этом длительность разрядов составляет от нескольких десятков до нескольких сотен колебаний, что хорошо соответствует средним длительностям разрыдов, описанным в литературе [2]. Это доказывает, что предложенный в [6] механизм генерации пик-волновых разрядов не только является общим для ряда моделей из одного и того же класса, но и относительно нечувствителен к тому, какие уравнения используются для описания отдельного узла сети.



[1] J. T. Paz, J. R. Huguenard. Microcircuits and their interactions in epilepsy: is the focus out of focus?. Nature Neuroscience. 2015; 18(3):351–359.

[2] A. M. L. Coenen, G. van Luijtelaar. Genetic animal models for absence epilepsy: a review of the WAG/Rij strain of rats, Behav Genetics. 2003; 33:635–655. doi:10.1023/A:1026179013847

[3] M. V. Sysoeva, A. Lüttjohann, G. van Luijtelaar, I. V. Sysoev. Dynamics of directional coupling underlying spike-wave discharges. Neuroscience. 2016; 314:75–89. doi:10.1016/j.neuroscience.2015.11.044

[4] T. M. Medvedeva, M. V. Sysoeva, A. Lüttjohann, G. van Luijtelaar, I. V. Sysoev. Dynamical mesoscale model of absence seizures in genetic models. PLoS ONE. 2020; 15:e239125.

doi:10.1371/journal.pone.0239125

[5] А. С. Дмитричев, Д. В. Касаткин, В. В. Клиньшов, С. Ю. Кириллов, О. В. Масленников, Д. С. Щапин, В. И. Некоркин. Нелинейные динамические модели нейронов: обзор // Известия вузов. ПНД. 2018; 26(4):5–58. doi:10.18500/0869-6632-2018-26-4-5-58

[6] А. А. Капустников, М. В. Сысоева, И. В. Сысоев. Моделирование пик-волновых разрядов в мозге малыми сетями нейроосцилляторов // Математическая биология и биоинформатика, 2020; 15(2):138-147. doi:10.17537/2020.15.138



Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, грант 19-72-10030-П.

Epilepsy is a network phenomenon caused primarily by pathological changes in the organization of neural networks in the brain, often in very small subnetworks [1]. Absence epilepsy is a mild form. The seizures are accompanied by a short-term loss of consciousness and are expressed on the electroencephalogram as spike-wave discharges. Since to understand its mechanisms it is necessary to measure the activity of deep brain structures, the main results were obtained on genetic rats models [2]. Since absences end abruptly and no specific termination mechanism has been found [3], one of the main ways to model them is to represent spike-wave discharges as long transient processes [4]. Since the effects of generation of spike-wave discharges are considered primarily as network effects, the simplest of the known ones, most often the FitzHugh-Nagumo model, were taken as models for individual neurons and their groups. However, if the effects observed in [4] are indeed network effects, they should be repeated when using different equations for a single network element.



In this paper, we consider small network models of the epileptic focus, consisting of 14 neurons. Three popular models are used for nodes: Hodgkin-Huxley, Morris-Lecar and FitzHugh-Nagumo models [5]. A total of 88 models were considered, differing in the details of the architecture of connections built on the basis of the original model [6]. Both linear relationships and more physiologically substantiated ones, through the hyperbolic tangent, were considered. For each model for each type of node, a bifunctional analysis was carried out in terms of the connection parameter. For a significant number of models, it was possible to detect a saddle-node bifurcation of the limit cycle, at which the birth of a limit cycle of finite size occurs, coexisting with the equilibrium state. At the threshold of the birth of such a cycle, there were long quasi-regular transient processes. They can be caused by a short-term external driving, as shown in [4,6], for example, from the trigeminal nerve. Such transient processes are considered by us as models of spike-wave discharges.



For each model, an analysis was made of the dependence of the transient process duration on the phase of driving. We selected the models which demonstrated the longest transient processes. It turned out that there are several connectivity matrices, when using which the generation of long transient processes occurs for all three neuron models used. In this case, the duration of the discharges ranges from several tens to several hundreds of oscillations, which is in good agreement with the average discharge durations described in the literature [2]. This proves that the mechanism for generating spike-wave discharges proposed in [6] is not only common for a number of models from the same class, but also relatively insensitive to which equations are used to describe an individual network node.





[1] J. T. Paz, J. R. Huguenard. Microcircuits and their interactions in epilepsy: is the focus out of focus?. Nature Neuroscience. 2015; 18(3):351–359.

[2] A. M. L. Coenen, G. van Luijtelaar. Genetic animal models for absence epilepsy: a review of the WAG/Rij strain of rats, Behav Genetics. 2003; 33:635–655. doi:10.1023/A:1026179013847

[3] M. V. Sysoeva, A. Lüttjohann, G. van Luijtelaar, I. V. Sysoev. Dynamics of directional coupling underlying spike-wave discharges. Neuroscience. 2016; 314:75–89. doi:10.1016/j.neuroscience.2015.11.044

[4] T. M. Medvedeva, M. V. Sysoeva, A. Lüttjohann, G. van Luijtelaar, I. V. Sysoev. Dynamical mesoscale model of absence seizures in genetic models. PLoS ONE. 2020; 15:e239125.

doi:10.1371/journal.pone.0239125

[5] A. S. Dmitrichev, D. V. Kasatkin, V. V. Klinshov, S. Y. Kirillov, O. V. Maslennikov, D. S. Shchapin, V. I. Nekorkin. Nonlinear dynamical models of neurons: Review. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2018; 26(4):5–58. doi:10.18500/0869-6632-2018-26-4-5-58

[6] A. A. Kapustnikov, M. V. Sysoeva, I. V. Sysoev. Modeling spike-wave discharges in the brain with small neurooscillator networks. Mathematical biology and bioinformatics 2020; 15(2): 138–147. doi:10.17537/2020.15.138



This work was supported by Russian Science Foundation, grant No. 19-72-10030-P.