В данной работе рассматривается проблема математического моделирования трех типов экспериментально наблюдаемой мозговой активности; в частности, эпилептиформной активности (спайк-волновые разряды), пассивного бодрствования (регулярный альфа-ритм), медленноволнового сна (хаотическая многочастотная активность). Изучена упрощенная математическая модель таламокортикальной сети мозга в виде ансамбля осцилляторов ФитцХью-Нагумо, способная демонстрировать все три желаемых поведения при неизменных параметрах отдельных элементов сети и неизменная архитектура сети, но с минимальными изменениями в силе связи между этими элементами. Эти процессы анализируются, группируются и сравниваются с экспериментальными локальными потенциалами мозга.

Основной подход к моделированию, предлагаемый в данной работе, состоит в генерации по морфологически [1] и физиологически [2] обоснованным правилам матриц связей, с использованием которых строятся модели в виде ансамблей модельных нейронов. При генерации задаётся набор правил, по которым связи могут появляться (например, связи между таламокортикальными нейронами запрещены). Для разрешённых связей возможны два подхода. Один состоит в том, что задаются (эмпирически подбираются) вероятности связей и затем генерируются матрицы со случайными связями [3, 4]. Другой подход состоит в наложении дополнительных ограничений, например, на общее число связей или связей внутри отдельной структуры, запрет несвязанных или односторонне связанных нейронов, поскольку они не участвуют в динамике сети [5, 6]. Таким образом общее число возможных вариантов существенно сокращается и возможен становится более полный анализ: перебор большого, но обозримого числа матриц связи из некоторого класса вместо их случайной генерации. В данной работе будет использоваться первый подход.

Для моделирования всех трёх исследуемых состояний мозга генерировались матрицы с одинаковой архитектурой связей, отличалась только сила связи для некоторых пар структур. Генерировалось множество матриц связанности и отбирались только те, которые одновременно удовлетворяли следующим условиям. 1) Для моделирования эпилептического пик-волнового разряда разрешённые cвязи устанавливали kSWD = 0.18, в том числе и с нейрона внешнего входа, далее подавали внешнее воздействие и отбирали те матрицы, которые до внешнего стимула находились в неколебательном режиме, а после окончания воздействия демонстрировали остаточные колебания. 2) Для моделирования пассивного бодрствования использовались уже только эти отобранные матрицы, но все связи увеличивали на 10% по сравнению с kSWD, при этом никакого внешнего стимула не подавалось, сеть просто сама из-за большей силы связи начинала колебаться. 3) Для моделирования медленного сна опять брались те же матрицы, чтобы были отобраны для пик-волновых разрядов, но теперь сила связи с ретикулярных клеток на таламокортикальные была увеличена на 10%, а связи ретикулярных клеток друг на друга уменьшены на 10% по сравнению с аналогичными взаимодействия для пик-волновых разрядов; сеть колебалась без внешнего стимула. Было найдено десять различных 28-элементных матриц и десять различных 280-элементной матриц. Они отличались архитектурой связи за счёт случайной генерации вероятности возникновения этих связей. Таким образом была проверена структурная устойчивость наблюдаемых режимов к малым вариациям матрицы связей, что важно, поскольку в мозге связи непрерывно перестраиваются в процессе жизни, причём небольшие перестроения не влияют качественно на поведение. От каждой матрицы было получено по одному набору состояний SWD, PW и SWS.

В данной работе показано, что в моделях с одной и той же матрицей связности возможно реализовать различные типы вибрационной активности, наблюдаемые экспериментально и соответствующие эпилепсии, пассивному бодрствованию и сну. При этом один режим соответствует динамике на аттракторе, другой – длительным переходным процессам. Показано, что существует класс (множество) таких матриц связности, в то время как временные ряды, полученные из моделей, использующих их, качественно схожи, но отличаются в деталях, как мозговая активность разных животных из одной и той же генетической линии.



Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда 21-72-00015.



1. G. Paxinos, C. Watson, The Rat Brain in Stereotaxic Coordinates, 6th Edition, San Diego: Academic Press, 2006.

2. P. Suffczynski, S. Kalitzin, F. L. D. Silva, Dynamics of non-convulsive epileptic phenomena modeled by a bistable neuronal network, Neuroscience 126 (2) (2004) 467–484.

3. T.M. Medvedeva, M.V. Sysoeva, G. van Luijtelaar, I.V. Sysoev, Modeling spike-wave discharges by a complex network of neuronal oscillators, Neural Networks 98 (2018) 271–282.

4. T.M. Medvedeva, M.V. Sysoeva, A.Luttjohann, G. van Luijtelaar, I.V. Sysoev, Dynamical mesoscale model of absence seizures in genetic models, PLoS ONE 15 (9) (2020) e239125.

5. A.A. Kapustnikov, M.V. Sysoeva, I.V. Sysoev, Modeling spike-wave discharges in the brain with small neurooscillator networks, Mathematical Biology and Bioinformatics 16 (2020) 139–146.

6. A.A. Kapustnikov, M.V. Sysoeva, I.V. Sysoev, Transient dynamics in a class of mathematical models of epileptic seizures, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 109 (2022) 106284.

In this work the problem of mathematical modeling of three types of experimentally observed brain activity is considered; in particular epileptiform activity (spike-wave discharges), passive wakefulness (regular alpha rhythm), slow-wave sleep (chaotic multifrequency activity). The simplified mathematical model of thalamocortical brain network in form of ensemble of FitzHughNagumo oscillators is studied This model is able to demonstrate all three desired behaviors with unchanged parameters of individual network elements and unchanged network architecture, but with minimal changes in the coupling strength between these elements. These processes are analyzed, clustered and compared to experimental local field potentials of the brain.

The main approach to modeling proposed in this article is to generate morphologically [1] and physiologically [2] sound rules of connectivity matrices, using which models are constructed in the form of ensembles of model neurons. During generation, the couplings can appear following the preliminary states set of rules, for example, couplings between thalamocortical neurons are forbidden. Two approaches are possible to setting the allowed couplings. One is that the probabilities of couplings are given (empirically selected) and then matrices with random connections are generated [3, 4]. The other approach is to impose additional restrictions, for example, on the total number of couplings or couplings within a single structure, the prohibition of unconnected or one-way connected neurons, since they do not participate in the dynamics of the network [5, 6]. Thus, the total number of possible options is significantly reduced and a more complete analysis becomes possible: iterating over a large but foreseeable number of connectivity matrices from a certain class instead of randomly generating them. In this paper, the first approach will be used.

To simulate all three studied brain states, matrices with the same connection architecture were generated, only the strength of the connection for some pairs of structures differed. Many connectivity matrices were generated and only those that simultaneously satisfied the following conditions were selected. 1) To simulate an epileptic peak-wave discharge, allowed connections were established kSWD = 0.18, including from an external input neuron, then external exposure was applied and those matrices were selected that were in a non-oscillatory mode before the external stimulus, and after the end of exposure showed residual fluctuations. 2) Only these selected matrices were used to simulate passive wakefulness, but all connections were increased by 10% compared to kSWD, while no external stimulus was provided, the network itself simply began to fluctuate due to the greater strength of the connection. 3) To simulate slow sleep, the same matrices were taken again to be selected for peak wave discharges, but now the strength of the connection from reticular cells to thalamocortical cells was increased by 10%, and the connections of reticular cells to each other were reduced by 10% compared to similar interactions for peak wave discharges; the network fluctuated without an external incentive. Ten different 28-element matrices and ten different 280-element matrices were found. They differed in the communication architecture due to the random generation of the probability of occurrence of these connections. Thus, the structural stability of the observed modes to small variations in the matrix of connections was tested, which is important, since connections in the brain are continuously rebuilt during life, and small rearrangements do not qualitatively affect behavior. One set of SWD, PW and SWS states was obtained from each matrix.

It is shown that in models with the same connectivity matrix, it is possible to realize various types of vibrational activity observed experimentally and corresponding to epilepsy, passive wakefulness and sleep. At the same time, one mode corresponds to the dynamics on the attractor, the other – long transients. It is shown that there is a class (set) such connectivity matrices, while the time series obtained from models using them are qualitatively similar, but differ in details as the brain activity of different animals from the same genetic line.



This research was funded by Russian Science Foundation, Grant No. 21-72-00015.



1. G. Paxinos, C. Watson, The Rat Brain in Stereotaxic Coordinates, 6th Edition, San Diego: Academic Press, 2006.

2. P. Suffczynski, S. Kalitzin, F. L. D. Silva, Dynamics of non-convulsive epileptic phenomena modeled by a bistable neuronal network, Neuroscience 126 (2) (2004) 467–484.

3. T.M. Medvedeva, M.V. Sysoeva, G. van Luijtelaar, I.V. Sysoev, Modeling spike-wave discharges by a complex network of neuronal oscillators, Neural Networks 98 (2018) 271–282.

4. T.M. Medvedeva, M.V. Sysoeva, A.Luttjohann, G. van Luijtelaar, I.V. Sysoev, Dynamical mesoscale model of absence seizures in genetic models, PLoS ONE 15 (9) (2020) e239125.

5. A.A. Kapustnikov, M.V. Sysoeva, I.V. Sysoev, Modeling spike-wave discharges in the brain with small neurooscillator networks, Mathematical Biology and Bioinformatics 16 (2020) 139–146.

6. A.A. Kapustnikov, M.V. Sysoeva, I.V. Sysoev, Transient dynamics in a class of mathematical models of epileptic seizures, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 109 (2022) 106284.