Переход от традиционных методов статистической обработки временных рядов к построению и анализу адекватных математических моделей является отличительной чертой современных исследований в науках о живом. Актуальные задачи анализа сложных режимов поведения в биологических системах решаются с помощью современной математической теории бифуркаций. Случайные возмущения, неизбежно присутствующие в таких системах, могут существенно изменить сценарии поведения и вызвать явления, причины которых не объясняются в рамках исходных детерминированных моделей. Здесь можно отметить такие явления, как индуцированные шумами переходы между качественно различными режимами, стохастические бифуркации, индуцированные шумом переходы от порядка к хаосу и возбудимость, стохастический резонанс, фантомные аттракторы. Построение адекватных стохастических моделей и разработка конструктивных методов их анализа является актуальной задачей современной математической биофизики.



Широко используемый метод прямого численного моделирования решений соответствующих стохастических динамических моделей является весьма затратным и позволяет лишь констатировать те или иные феномены, не давая ответ на вопрос о лежащих в их основе механизмах. В цикле последних работ авторов развивается аналитический подход, использующий технику стохастической чувствительности и метод доверительных областей, ориентированный на конструктивный параметрический анализ воздействия случайных возмущений на динамические режимы нелинейных систем с непрерывным и дискретным временем. Математическая техника стохастической чувствительности, разработанная для регулярных аттракторов (равновесных, периодических и квазиопериодических), так и для хаотических, позволяет аппроксимировать разброс случайных состояний в форме доверительных областей (эллипсоидов и полос) [1,2].

В анализе индуцированных шумом переходов между аттракторами важную роль играет геометрия бассейнов притяжения и сепаратрис, их разделяющих. При этом оценка критических значений интенсивности шума, вызывающего переходы, может быть получена из анализа взаимного расположения доверительных областей и этих сепаратрис.



Данный подход успешно применяется к анализу механизмов индуцированных шумом явлений в биофизических моделях, относящихся к разным иерархическим уровням и имеющих различную физическую природу: в процессах внутри- и межклеточных обменов [3], нейронной динамике [4], сердечной активности [5], динамике популяций [6] и метапопуляций [7], процессах распространения инфекций [8], иммуно-опухолевых взаимодействиях [9].

Универсальность разработанных методов вероятностного анализа позволяет использовать их в активно развиваемой современной области нелинейной стохастической динамики сложных биофизических процессов.



Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №21-11-00062).



Литература

1. I. Bashkirtseva, A. B. Neiman, L. Ryashko, Stochastic sensitivity analysis of noise-induced suppression of firing and giant variability of spiking in a Hodgkin-Huxley neuron model. Phys. Rev. E 91 (2015) 052920.

2. I. Bashkirtseva, L. Ryashko, Stochastic Sensitivity Analysis of Noise-Induced Phenomena in Discrete Systems, in Recent Trends in Chaotic, Nonlinear and Complex Dynamics, World Scientific Series on Nonlinear Science Series B, pp. 173-192 (2021).

3. I. Bashkirtseva, L. Ryashko, How noise can generate calcium spike-type oscillations in deterministic equilibrium modes. Phys.Rev.E, 105(5-1) (2022) 054404.

4. L. Ryashko, E. Slepukhina, Noise-induced toroidal excitability in neuron model Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 82 (2020) 105071.

5. E. Slepukhina, I. Bashkirtseva, L. Ryashko, P. Kügler, Stochastic mixed-mode oscillations in the canards region of a cardiac action potential model, Chaos, Solitons and Fractals 164 (2022) 112640.

6. I. Bashkirtseva, T. Perevalova, L. Ryashko, A stochastic hierarchical population system: excitement, extinction and transition to chaos. International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 31, No. 14 (2021) 2130043.

7. A. Belyaev, I. Bashkirtseva, L. Ryashko, Stochastic variability of regular and chaotic dynamics in 2D metapopulation model, Chaos, Solitons and Fractals 151 (2021) 111270.

8. I. Bashkirtseva, T. Perevalova, L. Ryashko, Analysis of stochastic bifurcations in the eco-epidemiological oscillatory model with weak Allee effect. International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 32, No. 8 (2022) 2250124.

9. I. Bashkirtseva, L. Ryashko, J. Duarte, J. M. Seoane, M.A.F. Sanjuan, The role of noise in the tumor dynamics under chemotherapy treatment. Eur. Phys. J. Plus 136 (2021) 1123.

The transition from traditional methods of statistical processing of time series to the construction and analysis of adequate mathematical models is a distinctive feature of modern research in the life sciences. Actual problems of the analysis of complex modes of behavior in biological systems are solved with the help of the modern mathematical theory of bifurcations. Random perturbations, which are inevitably present in such systems, can significantly change behavior scenarios and generate phenomena whose causes are not explained within the framework of the original deterministic models. Here, we can note such phenomena as noise-induced transitions between qualitatively different regimes, stochastic bifurcations, noise-induced transitions from order to chaos and excitability, stochastic resonance, phantom attractors. The construction of adequate stochastic models and the development of constructive methods for their analysis is an urgent problem in modern mathematical biophysics.



The widely used method of direct numerical simulation of solutions to the corresponding stochastic dynamic models is very costly and only allows one to state certain phenomena without giving an answer to the question of the underlying mechanisms. In a series of recent works by the authors, an analytical approach is developed that uses the stochastic sensitivity technique and the method of confidence regions. This approach focuses on a constructive parametric analysis of the impact of random disturbances on the dynamic regimes of nonlinear systems with continuous and discrete time. The mathematical technique of stochastic sensitivity, developed for regular attractors (equilibrium, periodic, and quasi-periodic) and for chaotic ones, makes it possible to approximate the dispersion of random states in the form of confidence regions (ellipsoids and bands) [1,2].

In the analysis of noise-induced transitions between attractors, the geometry of attraction basins and separatrices detaching them plays an important role. In this case, an estimate of the critical values of the intensity of the noise that causes transitions can be obtained from an analysis of the mutual arrangement of the confidence regions and these separatrices.



This approach has been successfully applied to the analysis of the mechanisms of noise-induced phenomena in biophysical models belonging to different hierarchical levels and having different physical nature: in the processes of intra- and intercellular exchanges [3], neuronal dynamics [4], cardiac activity [5], population dynamics [6] and metapopulations [7], infection spreading processes [8], immuno-tumor interactions [9].

The universality of the developed methods of probabilistic analysis makes it possible to use them in the actively developed modern field of nonlinear stochastic dynamics of complex biophysical processes.



The work was supported by Russian Science Foundation (N 21-11-00062).



References

1. I. Bashkirtseva, A. B. Neiman, L. Ryashko, Stochastic sensitivity analysis of noise-induced suppression of firing and giant variability of spiking in a Hodgkin-Huxley neuron model. Phys. Rev. E 91 (2015) 052920.

2. I. Bashkirtseva, L. Ryashko, Stochastic Sensitivity Analysis of Noise-Induced Phenomena in Discrete Systems, in Recent Trends in Chaotic, Nonlinear and Complex Dynamics, World Scientific Series on Nonlinear Science Series B, pp. 173-192 (2021).

3. I. Bashkirtseva, L. Ryashko, How noise can generate calcium spike-type oscillations in deterministic equilibrium modes. Phys.Rev.E, 105(5-1) (2022) 054404.

4. L. Ryashko, E. Slepukhina, Noise-induced toroidal excitability in neuron model. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 82 (2020) 105071.

5. E. Slepukhina, I. Bashkirtseva, L. Ryashko, P. Kügler, Stochastic mixed-mode oscillations in the canards region of a cardiac action potential model. Chaos, Solitons and Fractals 164 (2022) 112640.

6. I. Bashkirtseva, T. Perevalova, L. Ryashko, A stochastic hierarchical population system: excitement, extinction and transition to chaos. International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 31, No. 14 (2021) 2130043.

7. A. Belyaev, I. Bashkirtseva, L. Ryashko, Stochastic variability of regular and chaotic dynamics in 2D metapopulation model. Chaos, Solitons and Fractals 151 (2021) 111270.

8. I. Bashkirtseva, T. Perevalova, L. Ryashko, Analysis of stochastic bifurcations in the eco-epidemiological oscillatory model with weak Allee effect. International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 32, No. 8 (2022) 2250124.

9. I. Bashkirtseva, L. Ryashko, J. Duarte, J. M. Seoane, M.A.F. Sanjuan, The role of noise in the tumor dynamics under chemotherapy treatment. Eur. Phys. J. Plus 136 (2021) 1123.