Основная проблема тканевой инженерии заключается в том, что любая ткань является многоклеточным образованием. Таким образом, исследователь, который ставит перед собой задачу вырастить искусственную ткань из одной клетки, стоит перед серьезным вызовом: каким образом организовать кооперацию между тысячами новых клеток таким образом, чтобы они образовывали бы правильно структурированные клеточные ансамбли, которые могли бы быть затем включены в уже работающий организм без неприятных последствий.

Основной инструмент, с помощью которого тканевая инженерия пытается собирать пазлы из отдельных клеток, является скаффолд. Под ним понимается либо пористая, либо фиброзная матрица произвольной структуры, которая засеивается стволовыми клетками будущей ткани. Важно отметить, что твёрдое тело, с которым входит в контакт клетка, не является естественной средой обитания клеток. Клетки эволюционировали либо в жидком многокомпонентном растворе, либо в составе многоклеточного организма. Таким образом, процессы вблизи поверхности ткань-твёрдое тело требуют отдельного исследования. Все детали взаимодействия клеток и твёрдой поверхности до сих пор неизвестны. В случае пористого скаффолда экспериментальные наблюдения показывают, что клетки предпочитают ложиться на стенки микроканалов плоским образом. Возможно, они воспринимают стенки пор как базальную мембрану, которая играет важную роль в структурировании эпителиальных тканей в организме. Деление клеток приводит к заполнению пор, при этом клетки растут как вдоль канала, так и к его центру создавая многослойную структуру. В случае фиброзного скаффолда, клетки прикрепляются к фибрам матрицы и рост ткани происходит менее упорядоченно, так как непосредственный контакт между клетками ослабевает. Тем не менее, эксперименты показывают, что клетки могут изменить стратегию и прикрепляться поперек канала в пористом скаффолде, и наоборот, покрывать поверхность струн в фиброзном скаффолде.

Важно отметить, что скаффолд позволяет контролировать рост ткани таким образом, чтобы клетки дифференцировались в соответствии с требованиями того органа, для которого выращивается ткань. Матрица выполнена из материала, который со временем разлагается, оставляя после себя ткань из структурированных клеток. Важную роль в процессе засевания и выращивания клеток играют гидродинамические явления. Клеточную культуру называют статической или динамической в зависимости от того покоиться или движется питательный раствор, насыщающий скаффолд. Утверждается, что фильтрация жидкости через поры скаффолда оказывает механическое воздействие на верхний слой клеток, которое стимулирует их к ускоренному делению. Таким образом принципиальную роль в росте клеток играет межфазная поверхность ткань–жидкость. Замечено, что ткань преимущественно растёт трансверсально потоку питательного раствора, который оказывает механический стресс на поверхностные клетки. В случае пористого скаффолда важную роль играет ширина пор, форма каналов, общая пористость материала.

В работе мы представляем математическую модель роста эпителиальной ткани в порах твёрдого скаффолда. Т.к. эпителиальные ткани выстилают поверхности органов, слизистые оболочки, а её клетки прикрепляются к базальной мембране, то задачу можно свести к двумерной постановке. Элементарная единица живой матери – клетка, представлена в модели в виде многоугольника, с динамически меняющимся числом вершин. Вся система откалибрована так, что наиболее вероятной формой клетки является шестиугольник, но появление клеток с другим числом вершин не исключено. Шестиугольная клетка наиболее выгодна энергетически в системе и по форме достаточно близка к окружности.

Для расчёта динамики системы мы задаём уравнение потенциальной энергии, в котором основными управляющими параметрами являются коэффициенты эластичности, которые определяют свойства деформации среды. Первое слагаемое в уравнении описывает сократимость периметра клеток, которое можно интерпретировать как сопротивление их чрезмерному растяжению, а второе характеризует стремление клеток сохранять свою среднюю площадь и сопротивляться действию сил растяжения и сжатия со стороны среды. Каждая клетка–многоугольник меняет своё положение в пространстве посредством перемещения её узлов (вершин). Равнодействующая механических сил, приложенных к узлу, является градиентом потенциальной энергии по радиус-вектору узла. Смещение узлов приводит к деформации клетки. Для описания уравнения скорости перемещения клеток мы используем механику Аристотеля. Во-первых, клеточная ткань является сильно диссипативной средой, где движение происходит без эффекта инерции, а во-вторых, такой подход позволяет существенно сократить объём вычислений. Так в уравнении движения силы напрямую определяют скорость движения объекта. Для клеток эпителия в модели предполагается, что вероятность деления клетки зависит от количества её узлов. Важное свойство эпителия – интеркаляция клеток. Она необходима для ослабления давления, оказываемого на клетку в ткани, для снятия локальных напряжений, а также для уменьшения потенциальной энергии всей ткани в случае её структурной перестройки. Этот механизм срабатывает, всякий раз, когда перемычка между соседними клетками становится меньше критического значения. Также в системе задано уравнение реакции-диффузии, описывающее обмен химическими сигналами между клетками через их общую границу. С помощью введения в модель такого уравнения мы можем задавать хемомеханическое взаимодействие элементов всей системы.

Разрабатываемая математическая модель способствует развитию методов математического моделирования в статических и динамических культурах клеточной ткани, растущих в скаффолдах.

Авторы выражают благодарность за финансовую поддержку в рамках программы Мегагрантов, договор № 075-15-2021-578 от 31 мая 2021 г., размещён на базе Пермского национального исследовательского политехнического университета.

The main problem of tissue engineering is that any tissue is a multicellular formation. Thus, a researcher who sets himself the task of growing an artificial tissue from a single cell faces a serious challenge: how to organize cooperation between thousands of new cells in such a way that they would form correctly structured cellular ensembles, which could then be included in already working organism without unpleasant consequences.

The main tool with which tissue engineering attempts to assemble puzzles from individual cells is the scaffold. It is understood as either a porous or fibrous matrix of an arbitrary structure, which is seeded with stem cells of the future tissue. It is important to note that the solid body with which the cell comes into contact is not the natural habitat of the cells. Cells evolved either in a liquid multicomponent solution or as part of a multicellular organism. Thus, the processes near the tissue-solid body surface require a individual study. All the details of the interaction between cells and solid surfaces are still unknown. In the case of a porous scaffold, experimental observations show that cells prefer to lay flat on the walls of microchannels. Perhaps they perceive the walls of the pores as a basement membrane, which plays an important role in the structuring of epithelial tissues in the organism. Cell division leads to the filling of pores, while the cells grow both along the channel and towards its center creating a multilayer structure. In the case of a fibrous scaffold, cells attach to the fibers of the matrix and tissue growth occurs in a less orderly manner, as immediate contact between cells is weakened. However, experiments show that cells can change strategy and attach across the channel in a porous scaffold, and vice versa, cover the surface of cord in a fibrous scaffold.

It is important to note that the scaffold allows you to control the growth of the tissue so that the cells differentiate in accordance with the requirements of the organ for which the tissue is grown. The matrix is made of a material that decomposes over time, leaving behind a tissue of structured cells. Hydrodynamic phenomena play an important role in the process of seeding and growing cells. Cell culture is called static or dynamic, depending on whether the nutrient saturating the scaffold is at rest or moving. It is argued that the filtration of fluid through the pores of the scaffold has a mechanical effect on the upper layer of cells, which stimulates them to accelerate division. Thus, the tissue–liquid interfacial surface plays a fundamental role in cell growth. It has been observed that tissue preferentially grows transversely to the flow of nutrient, which places mechanical stress on superficial cells. In the case of a porous scaffold, the width of the pores, the shape of the channels, and the total porosity of the material play an important role.

In this paper, we present a mathematical model for the growth of epithelial tissue in the pores of a solid scaffold. Because epithelial tissues are paving the surfaces of organs, mucous membranes, and its cells are attached to the basement membrane, then the problem can be reduced to a two-dimensional formulation. The elementary unit of a living mother is cell, is represented in the model as a polygon with a dynamically changing number of vertices. The whole system is calibrated so that the most probable cell shape is a hexagon, but the appearance of cells with a different number of vertices is not excluded. The hexagonal cell is the most energetically favorable in the system and is quite close to a circle in shape.

To calculate the dynamics of the system, we set the potential energy equation, in which the main control parameters are the coefficients of elasticity, which determine the deformation properties of the medium. The first term in the equation describes the contractility of the cell perimeter, which can be interpreted as resistance to their excessive stretching, and the second term characterizes the tendency of cells to maintain their average area and resist the action of tension and compression forces from the environment. Each cell-polygon changes its position in space by moving its nodes (polygon vertices). The resultant of the mechanical forces applied to a node is the potential energy gradient along the radius vector of the node. Displacement of nodes leads to deformation of the cell. We use Aristotle's mechanics to describe the equation for cell movement velocity. Firstly, the cell tissue is a highly dissipative medium where movement occurs without the effect of inertia, and secondly, this approach can significantly reduce the amount of calculations. So in the equation of motion, forces directly determine the speed of an object. For epithelial cells, the model assumes that the probability of cell division depends on the number of its nodes. An important property of the epithelium is cell intercalation. It is necessary to facilitate the pressure exerted on the cell in the tissue, to relieve local stresses, and also to reduce the potential energy of the entire tissue in the event of its structural restructuring. This mechanism is triggered whenever the jumper between adjacent cells becomes less than a critical value. The system also contains a reaction-diffusion equation that describes the exchange of chemical signals between cells across their overall boundary. By introducing such an equation into the model, we can set the chemomechanical interaction of the elements of the entire system.

The developed mathematical model contributes to the development of mathematical modeling methods in static and dynamic cell tissue cultures growing in scaffolds.

The authors gratefully acknowledge financial support under the Mega-grants program, contract no. 075-15-2021-578 of May 31, 2021, hosted by Perm National Research Polytechnic University.